전하량 보존 법칙

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1. 개요
2. 역사
3. 수학적 표현
- 3.1. 연속 방정식
- 3.2. 적분 형태
4. 유도
- 4.1. 맥스웰 방정식으로부터의 유도
- 4.2. 미시적 관점에서의 유도
5. 게이지 불변성과의 관계
6. 실험적 증거
7. 관련 용어
참조

1. 개요

전하량 보존 법칙은 1746년 윌리엄 왓슨과 벤자민 프랭클린에 의해 처음 제안되었으며, 1843년 마이클 패러데이가 증명을 제시했다. 이 법칙은 수학적으로 연속 방정식으로 표현되며, 전하 밀도와 전류 밀도를 사용하여 전자기장 이론에서 나타낼 수 있다. 전하 보존은 뇌터 정리에 의해 대칭성의 결과로 이해되며, 전자기장의 게이지 불변성과 관련된다. 실험적으로는 양성자와 전자의 기본 전하 크기가 동일해야 하며, 전하 보존이 위반되는 입자 붕괴는 관찰되지 않았다.

2. 역사

전하량 보존 법칙은 1746년 영국의 과학자 윌리엄 왓슨과 1747년 미국의 정치가이자 과학자인 벤자민 프랭클린에 의해 처음 제안되었으며, 1843년 마이클 패러데이가 최초로 설득력 있는 증명을 제시했다.^[4]^[5]

벤자민 프랭클린은 1747년 6월 5일 Cadwallader Colden에게 보낸 편지에서 "전기 화재가 마찰로 '창조'된 것이 아니라 단지 '수집'된 실제 요소 또는 물질의 종이라는 것이 현재 이곳과 유럽에서 모두 발견되고 증명되었습니다."라고 언급했다.^[6]

3. 수학적 표현

전자기장 이론에서 전하 보존 법칙은 벡터 미적분을 사용하여 표현될 수 있다. 이 때 사용되는 개념은 전하 밀도 (단위는 쿨롬/m³)와 전류 밀도 '''J''' (단위는 암페어/m²)이다.

부피 ''V'' 내부로의 순 전류는 다음과 같이 주어진다.

$I = - \iint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}$

여기서 는 바깥쪽을 향하는 법선 벡터에 의해 방향이 정해진 의 경계이며, 는 , 즉 경계 의 바깥쪽을 향하는 법선의 약칭이다. 는 부피 표면에서의 전류 밀도를 나타내며, 단위 시간당 단위 면적당 전하량을 의미한다. 이 벡터는 전류의 방향을 가리킨다.

발산 정리를 이용하면 위 식은 다음과 같이 변환된다.

$I = - \iiint_V \left(\nabla \cdot \mathbf{J}\right) dV$

전하 보존 법칙에 따르면, 부피로 들어가는 순 전류는 해당 부피 내 전하의 순 변화와 같아야 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\frac{dq} {dt} = - \iiint_V\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\right) dV$

부피 ''V'' 내의 총 전하 ''q''는 ''V'' 내 전하 밀도의 적분으로 표현된다.

$q = \iiint\limits_V \rho dV$

따라서 라이프니츠 적분 규칙에 의해 다음과 같은 식이 성립한다.

: $\frac{dq}{dt} = \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV$

위의 두 식을 같게 놓고 정리하면, 전하 보존 법칙의 일반적인 형태를 얻을 수 있다.

$0 = \iiint_V \left( \frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} \right) dV.$

이것은 모든 부피에 대해 참이므로, 일반적으로 다음이 성립한다.

$\frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0.$

전하의 불변성은 맥스웰 방정식의 결과로도 유도될 수 있다. 수정된 암페어 법칙의 좌변은 div-curl 항등식에 의해 발산이 0이다. 우변의 발산을 전개하고, 미분 연산자의 순서를 바꾸고, 가우스 법칙을 적용하면 전하 보존 법칙을 얻을 수 있다.

가우스 발산 정리에 따르면, 이는 고정된 부피 내의 전하 변화율이 경계를 통과하는 순 전류와 같다는 것을 의미한다.

특히, 고립계에서는 전체 전하가 보존된다.

3. 1. 연속 방정식

수학적으로, 전하 보존 법칙은 연속 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \dot Q_{\rm{IN}}(t)  - \dot Q_{\rm{OUT}}(t).

여기서

\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t

는 특정 부피 내의 전하 축적 속도이고,

\dot Q_{\rm{IN}}

는 부피로 유입되는 전하량이며,

\dot Q_{\rm{OUT}}

는 부피에서 유출되는 전하량이다.

두 시간 값 사이의 적분된 연속 방정식은 다음과 같다.

:

Q(t_2) = Q(t_1) + \int_{t_1}^{t_2}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(t) - \dot Q_{\rm{OUT}}(t)\right)\,\mathrm{d}t.

일반 해는 초기 조건 시간을 고정하여 얻으며, 이는 다음의 적분 방정식으로 이어진다.

:

Q(t) = Q(t_0) + \int_{t_0}^{t}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(\tau) - \dot Q_{\rm{OUT}}(\tau)\right)\,\mathrm{d}\tau.

정상 상태에서 제어 부피 내 전하량 변화는 없으므로, 다음이 성립한다.

:

\int_{t_0}^{t}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(\tau)

\dot Q_{\rm{OUT}}(\tau)\right)\,\mathrm{d}\tau = 0\;\;\forall t>t_0\;\implies\;\dot Q_{\rm{IN}}(t)

= \dot Q_{\rm{OUT}}(t)\;\;\forall t>t_0

전자기장 이론에서 벡터 미적분을 이용해 전하 밀도 (입방 미터당 쿨롬) 및 전기 전류 밀도 (제곱 미터당 암페어)로 이 법칙을 표현할 수 있다. 이를 전하 밀도 연속 방정식이라고 한다.

:

\frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0.

이 방정식은 한 점에서의 전하 밀도가 변하는 유일한 방법은 전하의 흐름이 그 점으로 유입되거나 유출되는 경우뿐임을 의미한다.

이 법칙을 연속 방정식 형태로 나타내면,

$\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)=0$

여기서 ρ는 전하 밀도, '''j'''는 전류 밀도이다.

이 법칙은 맥스웰 방정식으로부터 유도할 수 있다.

미시적인 전하 밀도 및 전류 밀도는 어떤 입자들의 집합이다. 전하 q_i의 입자가 위치 '''r'''_i에 있고 속도 '''v'''_i로 운동하고 있을 때,

$\rho(\boldsymbol{r},t)=\sum_i q_i \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))$

$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)=\sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))$

로 나타낸다. 여기서

\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i)

는 디랙 델타 함수를 3차원으로 확장한 것이다.

전하 q_i가 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하면^[20]

:

\frac{\partial \rho}{\partial t}=\sum_i q_i \frac{\partial}{\partial t} \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))

:

=-\sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \cdot \nabla \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))

:

=-\nabla \cdot \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)

따라서,

$\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)=0$

이 성립한다.

3. 2. 적분 형태

수학적으로, 전하 보존 법칙은 다음과 같은 연속 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \dot Q_{\rm{IN}}(t)  - \dot Q_{\rm{OUT}}(t).

여기서

\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t

는 시간

t

에서 특정 부피 내의 전하 축적 속도이고,

\dot Q_{\rm{IN}}

는 부피로 유입되는 전하량이며,

\dot Q_{\rm{OUT}}

는 부피에서 유출되는 전하량이다. 두 양 모두 시간의 일반적인 함수로 간주된다.

두 시간 값 사이의 적분된 연속 방정식은 다음과 같다.

:

Q(t_2) = Q(t_1) + \int_{t_1}^{t_2}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(t) - \dot Q_{\rm{OUT}}(t)\right)\,\mathrm{d}t.

일반 해는 초기 조건 시간

t_0

를 고정하여 얻으며, 이는 다음의 적분 방정식으로 이어진다.

:

Q(t) = Q(t_0) + \int_{t_0}^{t}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(\tau) - \dot Q_{\rm{OUT}}(\tau)\right)\,\mathrm{d}\tau.

조건

Q(t)=Q(t_0)\;\forall t > t_0,

는 제어 부피 내에서 전하량의 변화가 없음을 나타낸다. 즉, 시스템이 정상 상태에 도달한 것이다. 위의 조건으로부터 다음이 성립해야 한다.

:

\int_{t_0}^{t}\left(\dot Q_{\rm{IN}}(\tau)

\dot Q_{\rm{OUT}}(\tau)\right)\,\mathrm{d}\tau = 0\;\;\forall t>t_0\;\implies\;\dot Q_{\rm{IN}}(t)

= \dot Q_{\rm{OUT}}(t)\;\;\forall t>t_0

따라서,

\dot Q_{\rm{IN}}

과

\dot Q_{\rm{OUT}}

가 시간상에서 동일(필수는 아님)하면, 제어 부피 내부의 전체 전하는 변하지 않는다. 이 추론은 정상 상태에서

\partial Q/\partial t=0

이 성립하고

\dot Q_{\rm{IN}}(t) = \dot Q_{\rm{OUT}}(t)

를 의미하므로, 연속 방정식에서 직접 파생될 수 있다.

4. 유도

전하량 보존 법칙은 특정 부피로 들어가는 순 전류가 해당 부피 내 전하의 순 변화와 반드시 같아야 함을 의미한다. 이를 발산 정리를 이용하여 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[20]

: $\frac{dq} {dt} = - \iiint_V\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\right) dV$

여기서 q는 부피 V 내의 총 전하량, t는 시간, '''J'''는 전류 밀도를 나타낸다.

4. 1. 맥스웰 방정식으로부터의 유도

전하의 불변성은 맥스웰 방정식의 따름정리로 유도될 수 있다. 수정된 암페어 법칙의 좌변은 div-curl 항등식에 의해 발산이 0이다. 우변의 발산을 전개하고, 미분 연산자의 순서를 바꾸고, 가우스 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

:

0 = \nabla\cdot (\nabla\times \mathbf{B}) = \nabla \cdot \left(\mu_0 \left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) \right) = \mu_0\left(\nabla\cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \mathbf{E}\right) = \mu_0\left(\nabla\cdot \mathbf{J} +\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)

즉,

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0.

가우스 발산 정리에 따르면, 이는 고정된 부피 내의 전하 변화율이 경계를 통과하는 순 전류와 같다는 것을 의미한다.

특히, 고립계에서는 전체 전하가 보존된다.

4. 2. 미시적 관점에서의 유도

부피 ''V'' 내부로의 순 전류는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

I = - \iint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}

여기서 는 바깥쪽을 향하는 법선에 의해 방향이 정해진 의 경계이며, 는 , 즉 경계 의 바깥쪽을 향하는 법선의 약칭이다. 는 부피 표면에서의 전류 밀도(단위 시간당 단위 면적당 전하)이며, 이 벡터는 전류의 방향을 가리킨다.

발산 정리를 이용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

I = - \iiint_V \left(\nabla \cdot \mathbf{J}\right) dV

전하 보존 법칙은 부피로 들어가는 순 전류가 해당 부피 내 전하의 순 변화와 반드시 같아야 함을 의미한다.

부피 ''V'' 내의 총 전하 ''q''는 ''V'' 내 전하 밀도의 적분(합)으로 나타낼 수 있다.

:

q = \iiint\limits_V \rho dV

따라서 라이프니츠 적분 규칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\frac{dq}{dt} = \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV

위의 두 식을 같게 하면 다음 식을 얻는다.

:

0 = \iiint_V \left( \frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} \right) dV.

이 식은 모든 부피에 대해 참이므로, 일반적으로 다음이 성립한다.

:

\frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0.

미시적인 전하 밀도 및 전류 밀도는 여러 입자들의 집합으로 생각할 수 있다.

전하 q_i를 가지는 입자가 위치 '''r'''_i에 있고 속도 '''v'''_i로 운동하고 있을 때, 전하 밀도와 전류 밀도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\rho(\boldsymbol{r},t)=\sum_i q_i \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))$

$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)=\sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))$

여기서

\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i)

는 디랙 델타 함수를 3차원으로 확장한 것으로, '''r''' = ( x , y , z ), '''r'''_i = ( x_i , y_i , z_i )에 대해

\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i)=\delta(x-x_i) \delta(y-y_i) \delta(z-z_i)

이다.

전하 q_i가 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하면,^[20]

:

\frac{\partial \rho}{\partial t}=\sum_i q_i \frac{\partial}{\partial t} \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))

:

=-\sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \cdot \nabla \delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i(t))

:

=-\nabla \cdot \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)

따라서, 다음 식이 성립한다.

$\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r},t)=0$

5. 게이지 불변성과의 관계

전하 보존은 각 보존 법칙이 근본적인 물리학의 대칭성과 관련되어 있다고 주장하는 이론 물리학의 핵심 결과인 뇌터 정리를 통해 대칭성의 결과로 이해될 수 있다. 전하 보존과 관련된 대칭성은 전자기장의 전역적인 게이지 불변성이다.^[7] 이는 전기장과 자기장이 정전기적 전위 $\phi$ 를 나타내는 값의 다른 선택에 의해 변경되지 않는다는 사실과 관련이 있다. 그러나 전체 대칭성은 더 복잡하며, 벡터 전위 $\mathbf{A}$ 도 포함한다. 게이지 불변성의 완전한 설명은 스칼라 및 벡터 전위가 임의의 스칼라장 $\chi$ 의 기울기에 의해 이동될 때 전자기장의 물리학이 변경되지 않는다는 것이다.

: $\phi' = \phi - \frac {\partial \chi}{\partial t} \qquad \qquad \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \chi.$

양자 역학에서 스칼라장은 하전 입자의 파동 함수의 위상 변화와 동일하다.

: $\psi' = e^{i q \chi}\psi$

따라서 게이지 불변성은 파동 함수의 전체 위상 변화가 관찰 불가능하고, 파동 함수의 크기 변화만이 확률 함수 $|\psi|^2$ 에 변화를 가져온다는 잘 알려진 사실과 동일하다.^[8]

게이지 불변성은 전자기장의 매우 중요하고 잘 확립된 속성이며, 많은 검증 가능한 결과를 가진다. 전하 보존에 대한 이론적 근거는 이러한 대칭성과 연결됨으로써 크게 강화된다. 예를 들어, 게이지 불변성은 또한 광자가 질량이 없어야 함을 요구하므로, 광자가 질량이 0이라는 좋은 실험적 증거는 또한 전하가 보존된다는 강력한 증거이다.^[9] 게이지 불변성은 또한 가상적인 자기 전하의 양자화를 의미한다.^[8]

그러나 게이지 대칭이 정확하더라도 전하가 우리의 일반적인 3차원 공간에서 숨겨진 여분 차원으로 새어 나갈 수 있다면 겉보기에 전기 전하 보존이 위반될 수 있다.^[10]^[11]

6. 실험적 증거

전하 보존에 대한 가장 좋은 실험적 증명 방법은 전하가 항상 보존되지 않는 경우에 허용되는 입자 붕괴를 찾는 것이다. 그러한 붕괴는 지금까지 관찰되지 않았다.^[13] 가장 좋은 실험적 검증 방법은 전자가 중성미자와 단일 광자로 붕괴되는 과정에서 발생하는 고에너지 광자를 찾는 것이다.

붕괴	평균 수명
e → ν + γ	평균 수명은 6.6×10^28년 (90% 신뢰 수준)보다 큼^[14]^[15]
e → anything	평균 수명은 6.4×10^24년 (68% CL)보다 큼^[18]
n → p + ν +	전하 비보존 붕괴는 모든 중성자 붕괴의 8 × 10⁻²⁷(68% CL) 미만^[19]

하지만 전하가 보존되지 않더라도 그러한 단일 광자 붕괴는 절대 일어나지 않을 것이라는 이론적 주장이 있다.^[16] 전하 소멸 검증은 고에너지 광자가 없는 붕괴, 전자가 자발적으로 양전자로 변환되는 것과 같은 다른 특이한 전하 위반 과정,^[17] 그리고 전하가 다른 차원으로 이동하는 것에 민감하다.

전하량 보존 법칙은 화학 반응부터 핵반응, 입자의 붕괴 및 쌍생성/쌍소멸에 이르기까지 현재 확인된 모든 반응에서 보존되며, 지금까지 반례가 발견되지 않았다.

7. 관련 용어

전하량 보존 법칙은 1746년 영국의 과학자 윌리엄 왓슨과 1747년 미국의 정치가이자 과학자인 벤자민 프랭클린에 의해 처음 제안되었으며, 1843년 마이클 패러데이가 최초로 설득력 있는 증명을 제시했다.^[4]^[5]

이 법칙은 화학 반응부터 핵반응, 입자의 붕괴 및 쌍생성/쌍소멸에 이르기까지 현재 확인된 모든 반응에서 보존되며, 지금까지 반례가 발견되지 않았다는 경험적 사실에서 도출된 법칙이다.

또한, 전자기학의 전하(전기량)뿐만 아니라, 물리학에서 다루는 차지(하전량) 일반에 대해서도 성립한다는 것이 네터 정리에 의해 알려져 있다.

전하량 보존 법칙은 게이지 변환 대칭성의 발현이며, 광자의 질량이 0인 근거가 된다.

에너지 보존 법칙 등과 함께 자연계의 기본 법칙으로 여겨진다.

참조

_[1] 서적 Electricity and magnetism Cambridge University Press
_[2] 논문 Can the Universe be Charged?
_[3] 논문 Primordial helium production in a charged universe
_[4] 서적 Electricity in the 17th and 18th centuries: a study of early Modern physics https://books.google[...] University of California Press
_[5] 서적 Physics in the Nineteenth Century https://archive.org/[...] Rutgers University Press 1997
_[6] 서적 The Papers of Benjamin Franklin http://www.franklinp[...] Yale University Press 2010-11-25
_[7] 서적 Introduction to Elementary Particle Physics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[8] 서적 Modern Quantum Mechanics http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2017-09-21
_[9] 논문 Photon and Graviton Mass Limits
_[10] 논문 Gauge-Invariant Charge Nonconserving Processes and the Solar Neutrino Puzzle
_[11] 논문 Is the electric charge conserved in brane world?
_[12] 논문 The Review of Particle Physics http://pdg.lbl.gov/2[...] 2016
_[13] 논문 Tests of Conservation Laws http://pdg.lbl.gov/2[...] 2010-05
_[14] 논문 Test of Electric Charge Conservation with Borexino
_[15] 논문 Search for electron decay mode e → γ + ν with prototype of Borexino detector
_[16] 서적 Comments on Testing Charge Conservation and Pauli Exclusion Principle http://inspirehep.ne[...]
_[17] 논문 Possible Nonconservation of Electric Charge
_[18] 논문 Charge non-conservation restrictions from the nuclear levels excitation of ¹²⁹Xe induced by the electron's decay on the atomic shell
_[19] 논문 Improved limit on charge conservation derived from ⁷¹Ga solar neutrino experiments https://escholarship[...]
_[20] 문서
_[21] 서적 Introduction to Elementary Particle Physics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[22] 논문 Photon and Graviton Mass Limits
_[23] 논문 Gauge-Invariant Charge Nonconserving Processes and the Solar Neutrino Puzzle http://www.worldscin[...]
_[24] 논문 Is the electric charge conserved in brane world?

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